题目内容

对于任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．则函数f（0）的值为（　　）
分析：不妨令x=y=0，即可解决问题．
解答：解：∵对于任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴不妨令x=y=0，则有f（0）=0，
故选A．
点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于特值法的灵活应用，属于基础题．
练习册系列答案
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设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且 f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ） 求f（0）的值；
（Ⅱ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ） 是否存在正数k，使(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．
性质p：对于任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)≥2f(
x+y
2
)．则以下函数中具有性质p的是（　　）
已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）若f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；
（3）若当x≥0时，f（x）＜0，
1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；
2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围；
若定义在R上的减函数y=f（x），对于任意的x，y∈R，不等式f（x2-2x）≤-f（2y-y2）成立；且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则当 1≤x≤4时，
y
x
的取值范围
[-
1
2
，1 ]
[-
1
2
，1 ]
．
已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性（说明理由）；并求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域．
（3）若对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

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