Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f(x)=

2x 0≤x≤ 1 2 2-2x 1 2 ＜x≤1

则f的n阶周期点的个数是

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．

解答：解：当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0
当x∈（

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

∴f的1阶周期点的个数是2
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=

2

5

当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=

2

3

当x∈（

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=

4

5

∴f的2阶周期点的个数是2²
依此类推
∴f的n阶周期点的个数是2ⁿ
故答案为：2ⁿ

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．