Question

已知定义域为R的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，其图象均在x轴上方，对任意m，n∈[0，+∞），都有f（m•n）=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4．
（1）求f（0）、f（-1）的值；
（2）解关于x的不等式[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2，其中k∈（-1，1）．

Answer 1

分析：（1）由题意知对任意x∈R，f（x）＞0，而对任意m，n∈[0，+∞），都有f（mn）=[f（m）]ⁿ，令m=n=0可求出f（0）的值，令m=1，n=2，可得[f（1）]²=4，求出f（1）=2，根据偶函数可求出f（-1）的值；
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2⇒f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)，然后根据f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则|

kx+2

x2+4

|≥1，转化成（k²-1）x²+4kx≥0，讨论二次项系数可求出所求．

解答：解：（1）由题意知对任意x∈R，f（x）＞0，
又对任意m，n∈[0，+∞），都有f（mn）=[f（m）]ⁿ，
则令m=n=0则f（0）=[f（0）]⁰=1，…（2分）
令m=1，n=2，可得f（2）=f（1×2）=[f（1）]²=4，
∴f（1）=2，根据偶函数的性质可知f（-1）=2．…（6分）
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2⇒f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)…（9分）
∵f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴|

kx+2

x2+4

|≥1，
即（k²-1）x²+4kx≥0…（11分）
当-1＜k＜0时，原不等式的解集为[

4k

1-k2

，0]；
当k=0时，原不等式的解集为{0}；
当0＜k＜1时，原不等式的解集为[0，

4k

1-k2

]．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性，同时考查了转化与分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．