题目内容
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．
（1）若a＝3
，b＝
，求c；
（2）求
的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，将三角形内角的三角函数关系转化为角的关系，求出其中的一个角，然后利用余弦定理列方程，即可求
的值.要注意角的范围和三角函数的单调性.
（2）利用（1）的部分结论
，可得
，
＝
＝
＝
,化成只含一个角的三角函数值，再利用三角函数的性质求出该式的范围.
试题解析：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(
－C)．
∵△ABC是锐角三角形，
∴A－B＝
－C，即A－B＋C＝
， ①
又A＋B＋C＝π， ②
由②－①，得B＝
．
由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得(
)2＝c2＋(3
)2－2c×3
cos
，
即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
当c＝2时，b2＋c2－a2＝(
)2＋22－(3
)2＝－4＜0，
∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．
故c＝4． 6分
（2）由（1），知B＝
，∴A＋C＝
，即C＝
－A．
∴
＝
＝
＝
sin(2A－
)．
∵△ABC是锐角三角形，
∴
＜A＜
，∴－
＜2A－
＜
，
∴－
＜sin(2A－
)＜
，∴－1＜＜1．
故的取值范围为(－1，1)． 12分
考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的性质.
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