Question

（2009•日照一模）给出下列四个命题：
①若a＜b，则a²＞b²；
②若a≥b＞-1，则

a

1+a

≥

b

1+b

；
③若正整数m和n满足；m＜n，则

m(n-m)

≤

n

2

；
④若x＞0，且x≠1，则lnx+

1

lnx

≥2；
其中真命题的序号是

②③

（请把真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：分别利用不等式的性质进行判断，即可．

解答：解：①若a=0，b=1，则a²＜b²；所以①不成立．
②

a

1+a

-

b

1+b

=

a(1+b)-b(1+a)

(1+a)(1+b)

=

a-b

(1+a)(1+b)

，因为若a≥b＞-1，所以1+a＞0，1+b＞0，a-b＞0，
所以

a

1+a

-

b

1+b

=

a-b

(1+a)(1+b)

＞0，所以

a

1+a

＞

b

1+b

，所以②正确．
③因为正整数m和n满足；m＜n，所以由基本不等式可得

m(n-m)

≤

m+n-m

2

=

n

2

，所以③正确．
因为当0＜x＜1，时，lnx＜0，不满足基本不等式的条件，所以④错误．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性强，涉及的知识点较多．