题目内容

已知函数f(x)=
2a-x
+
x
(a∈N*)，设f（x）的最大值、最小值分别为m，n，若m-n＜1，则正整数a的取值个数是（　　）
分析：先将函数平方，然后利用基本不等式和二次函数的单调性求出函数的最值，最后根据m-n＜1建立不等式关系，求出所求．
解答：解：∵f(x)=
2a-x
+
x
≥0
∴[f（x）]2=2a+2
(2a-x)x
≥2a，
当x=0 或2a时f（x）取最小值n=
2a

又2
(2a-x)x
≤2a-x+x=2a，当x=2a-x即x=a时取等号
即f（x）2≤2a+2a=4a，f（x）≤2
a
，当x=a时取最大值m=2
a

这样m-n=2
a
-
2a
＜1
a
＜
1
2-
2
=
2+
2
2

因此只能取a=1 或 2
共2个正整数．
故选B．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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