题目内容

若{an}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{an}的前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）
分析：由题意可知数列是递减数列，由a2013（a2012+a2013）＜0求出公差的范围，确定出数列{an}的前2012项均为正数，从第2013项开始全为负值，然后再由a2013（a2012+a2013）＜0得到a2012+a2013＞0．进一步代入等差数列的前n项和公式得到结论．
解答：解：由题意可得数列{an}单调递减，
由a2013（a2012+a2013）＜0可得：
（a1+2012d）（2a1+4023d）＜0，解得-
4023
2
d＜a1＜-2012d，
故可得a2013=a1+2012d＜0，a2012=a1+2011d＞0，
故数列{an}的前2012项均为正数，从第2013项开始全为负值，
又a2013（a2012+a2013）＜0，
∴a2012+a2013＞0．
则S4023=4023a2012＜0，S4024=
(a2012+a2013)×4024
2
＞0
故使数列{an}的前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4024．
故选D．
点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了对递减数列的项的符号的判断，关键在于分清从那一项开始为负值，且判出正负相邻两项和的符号，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{bn}满足bn=anan+1（n∈N*）．
（1）若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式；
（2）若{an}是等比数列，求{bn}的前项和Sn．
（2012•西城区二模）对数列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k-1+λ2an+k-2+…+λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；
②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；
③若数列{an}的通项公式为an=n2，则{an}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（　　）
若{an}是等差数列，首项 a1＞0，a2011+a2012＞0，a2011•a2012＜0，则使前n项和Sn最大的自然数n是（　　）
若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2013+a2014＞0，a2013•a2014＜0，则使数列{an}的前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）
（2009•闸北区一模）记数列{an}的前n项和为Sn，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{an}是等差数列，项数n为偶数，首项a1=1，公差d=
3
2
，且S″-S′=15，求Sn；
（2）若无穷数列{an}满足条件：①Sn+1=1-
3
5
Sn（n∈N*），②S′=S″．求{an}的通项；
（3）若{an}是等差数列，首项a1＞0，公差d∈N*，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列．

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