题目内容
已知数列{an}中,a1=a,a2=t(常数t>0),Sn是其前n项和,且Sn=
.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;
(Ⅲ)令bn=
+
,求证:2n<b1+b2+…+bn<2n+3.(n∈N*).
n(an-a1) |
2 |
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理由;
(Ⅲ)令bn=
Sn+2 |
Sn+1 |
Sn+1 |
Sn+2 |
分析:(Ⅰ)递推式中令n=1,即得a=0;
(Ⅱ)由递推式,再写一式,两式相减,可得(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2),再用叠乘法,可得数列{an}是等差数列,从而可求通项公式;
(Ⅲ)确定得bn=
+
=2+2(
-
),利用裂项法,即可证得结论.
(Ⅱ)由递推式,再写一式,两式相减,可得(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2),再用叠乘法,可得数列{an}是等差数列,从而可求通项公式;
(Ⅲ)确定得bn=
n+2 |
n |
n |
n+2 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
解答:(Ⅰ)解:令Sn=
中n=1,即得a=0…(2分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得:Sn=
=
,即有2Sn=nan,
又有2Sn-1=(n-1)an-1(n≥2)
两式相减得:2an=nan-(n-1)an-1(n≥2),
即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2),…(5分)
于是(n-3)an-1=(n-2)an-2,(n-4)an-2=(n-3)an-3,…,a3=2a2(n≥3),
以上n-4个等式相乘得:an=(n-1)a2=(n-1)t(n≥3),…(8分)
经验证a1,a2也适合此式,所以数列{an}是等差数列,其通项公式为an=(n-1)t.…(9分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得Sn=
,从而可得bn=
+
=2+2(
-
)>2,
故b1+b2+…+bn>2n; …(11分)
b1+b2+…+bn=2n+2[(1-
)+(
-
)…+(
-
)]=2n+2(1+
-
-
)<2n+3
综上有,2n<b1+b2+…+bn<2n+3.(n∈N*)…(13分)
n(an-a1) |
2 |
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得:Sn=
n(an-a1) |
2 |
nan |
2 |
又有2Sn-1=(n-1)an-1(n≥2)
两式相减得:2an=nan-(n-1)an-1(n≥2),
即(n-2)an=(n-1)an-1(n≥2),…(5分)
于是(n-3)an-1=(n-2)an-2,(n-4)an-2=(n-3)an-3,…,a3=2a2(n≥3),
以上n-4个等式相乘得:an=(n-1)a2=(n-1)t(n≥3),…(8分)
经验证a1,a2也适合此式,所以数列{an}是等差数列,其通项公式为an=(n-1)t.…(9分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可得Sn=
n(n-1)t |
2 |
n+2 |
n |
n |
n+2 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
故b1+b2+…+bn>2n; …(11分)
b1+b2+…+bn=2n+2[(1-
|
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
综上有,2n<b1+b2+…+bn<2n+3.(n∈N*)…(13分)
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查不等式的证明,确定数列的通项,正确运用求和公式是关键.
练习册系列答案
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已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为( )
A、
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B、
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C、
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D、
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