Question

（2012•湖北模拟）已知函数f（x）=x|x-a|-2，当x∈[1，2]时，f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是

(1，2

2

)

．

Answer 1

分析：当x∈[1，2]时，f（x）＜0恒成立，即f（x）=x|x-a|-2＜0，可化为|x-a|＜

2

x

，即-

2

x

＜x-a＜

2

x

，分离参数，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，求出左右函数的最值，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：当x∈[1，2]时，f（x）＜0恒成立，即f（x）=x|x-a|-2＜0，可化为|x-a|＜

2

x

，即-

2

x

＜x-a＜

2

x

，
即x-

2

x

＜a＜x+

2

x

x∈[1，2]时，x+

2

x

用基本不等式求得x+

2

x

≥2

2

因为x∈[1，2]时，x-

2

x

单调递增，所以x-

2

x

最小值为x=2时，等于1
综上所述：1＜a＜2

2

故答案为：(1，2

2

)

点评：本题考查恒成立问题，解题的关键是将绝对值符号化去，利用函数的最值，确定参数的范围．