Question

设函数，，

其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．

(1)求g(t)的表达式；

(2)对于区间[－1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）g(t)＝4t³－3t＋3．

（２）对任意的实数a，＝∈[－2，2]

当且仅当a＝1时，＝2，对应的t＝－1或，

故当t＝－1或时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而当t∈(－1，1]且t≠时，这样的a不存在.

解析:

(1)

                

               ．

由(sinx－t)²≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)有最小值g(t)，即

g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)我们有．

列表如下：

t	(－1，－)	－	(－，)		(，1)
g'(t)	＋	0	－	0	＋
G(t)	↗	极大值g(－)	↘	极小值g()	↗

由此可见，g(t)在区间(－1，－)和(，1)单调增加，在区间(－，)单调减小，极小值为g()＝2，

又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2

故g(t)在[－1，1]上的最小值为2

注意到：对任意的实数a，＝∈[－2，2]

当且仅当a＝1时，＝2，对应的t＝－1或，

故当t＝－1或时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而当t∈(－1，1]且t≠时，这样的a不存在.