Question

己知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，当n≥2时，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=log3

an+1

2

，T_n是数列{

1

bnbn+1

}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及2a_n=S_n-1+1+S_n+1化简可得a_n+1=3a_n，n≥2，此数列数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列．利用等比数列的通项公式就看得出．
（2）利用（1）可得b_n=n，可得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”可得T_n，即可得出．

解答：解．（1）当n≥2时，由题意可得2a_n=S_n-1+1+S_n+1…①
2a_n+1=S_n+1+S_n+1+1…②
②-①化简得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an=2×3n-1．
（2）∵bn=log3

an+1

2

=lo

g

2×3n 2 3

=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

n+1

＜1，

m

20

≥1恒成立，
∴最小正整数m的值为20．

点评：本题考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比数列的通项公式、“裂项求和”及其不等式等基础知识与基本方法，属于难题．