Question

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

解答：解：（I）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx(x＞0)，
f′(x)=x+

1

x

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为f(1)=

1

2

，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是[

1

2

，+∞)
（2）已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
设g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))．
即g（x）的最大值小于0.g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)
（1）当a≤

1

2

时，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＜0，
∴g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为减函数．
∴g（1）=-a-

1

2

≤0
∴a≥-

1

2

∴

1

2

≥a≥-

1

2

（2）a≥1时，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＞0．
g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当

1

2

＜a＜1时，g（x）在(1，

1

2a-1

)上为减函数，在(

1

2a-1

，+∞)上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

点评：解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．