题目内容
7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx（a≠0）．（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：
（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；
（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S为切点作f（x）的切l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数a，使得l1∥l2，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．
分析 （Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2（x＞0），求导可得h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，从而由导数的讨论确定其单调性及单调区间；
（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有lnx0=ax02-x0，f′（x0）=g′（x0），从而可得lnx0=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x0；再令H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；从而求a；
（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1＞x2，则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；从而写出切线的斜率k1=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，k2=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x1+x2）-1，从而如果存在a使得k1=k2，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x1+x2）-1，再结合lnx1=ax12-x1和lnx2=ax22-x2得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；设u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，则有lnu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；从而可确定满足条件的实数a并不存在．
解答 解：（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax2（x＞0），
所以，h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
所以，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$），单调减区间为（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）．
（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有
lnx0=ax02-x0，①
又在点P有共同的切线，
∴f′（x0）=g′（x0），
即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax0-1，
即a=$\frac{1+{x}_{0}}{2{x}_{0}^{2}}$代入①得
lnx0=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x0；
设H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；
所以函数H（x）最多只有1个零点，观察得x0=1是零点．
∴a=1，此时P（1，0）．
（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1＞x2，则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；
以S为切点的切线l1的斜率k1=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
以T为切点的切线l2的斜率k2=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x1+x2）-1，
如果存在a使得k1=k2，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x1+x2）-1，①
而且有lnx1=ax12-x1和lnx2=ax22-x2，
如果将①的两边乘x1-x2得并简可得，
$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=ax12-x1-（ax22-x2）=lnx1-lnx2=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
即，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；
设u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，则有lnu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；
考察F（u）=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）的单调性不难发现，
F（u）在[1，+∞）上单调递增，故F（u）＞F（1）=0，
所以，满足条件的实数a并不存在．
点评 本题考查了导数的综合应用及化简及整体代换的应用，化简运算很困难，属于难题．
| A． | 4 | B． | 21+$\sqrt{3}$ | C． | 3$\sqrt{3}$+12 | D． | $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$+12 |
如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=$\sqrt{6}$，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=$\sqrt{2}$，且PA⊥PD，E是线段AD的中点．
如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD．