题目内容

如图，A为椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．当AC垂直于x轴时，恰好|AF₁|：|AF₂|=3：1．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设 $数学公式$ ， $数学公式$ ，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（1）当AC垂直于x轴时，|AF₁|：|AF₂|=3：1，由|AF₁|+|AF₂|=2a，
得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在Rt△AF₁F₂中，|AF₁|²=|AF₂|²+（2c）²
解得 e= $\text{[math]}$ ．
（2）由e= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，b=c．
焦点坐标为F₁（-b，0），F₂（b，0），则椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
化简有x²+2y²=2b²．
设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直线AC⊥x轴，x₀=b，λ₂=1， $\text{[math]}$
∴λ1+λ2=6．
②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为 $\text{[math]}$
代入椭圆方程有（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
由韦达定理得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，
同理可得 $\text{[math]}$
故λ1+λ2= $\text{[math]}$ ．综上所述：λ1+λ2是定值6．
分析：（1）由|AF₁|：|AF₂|=3：1，及椭圆定义|AF₁|+|AF₂|=2a，可求AF₁，AF₂，在在Rt△AF₁F₂中，利用勾股定理可求
（2）由（1）可得b=c．椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为 $\text{[math]}$ 代入椭圆方程，结合韦达定理可求 $\text{[math]}$ ，从而可求 $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$ ，代入可求
点评：本题主要考查了利用椭圆得性质及椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交中方程思想的应用，这是处理直线与椭圆位置关系的通法，但要注意基本运算的考查