Question

如图，在四面体ABCD中，二面角A-CD-B的平面角为60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，点E、F分别是AD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取DC的中点G，连接EG，FG．
∵点E、F分别是AD、BC的中点．
∴EG，FG分别为△ACD，△BCD的中位线．
故EG⊥CD，FG⊥CD
∵EG∩FG=G．
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF为二面角A-CD-B的平面角，∠EGF=60°．
在△EGF中，EG=2FG，∠EGF=60°，由余弦定理得EF=FG，
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G，GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：以C为原点，平面BCD为xoy平面，CD为y轴建立空间直角坐标系．
设BD=1，则C（0，0，0），B（1，2，0），D（0，2，0），A（1，0，）
∴，．
平面BCD的法向量=（0，0，1）
设平面ABD的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，
∴，∴x=0，，
令z=1，=
∴
∴二面角A-BD-C的余弦值为．
分析：（Ⅰ）取DC的中点G，连接EG，FG，证明CD⊥平面EFG，可得∠EGF为二面角A-CD-B的平面角，在△EGF中，由余弦定理得EF=FG，从而可得∠EFG=90°，进而可知EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面BCD的法向量=（0，0，1），平面ABD的法向量=，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-BD-C的余弦值．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法解决面面角问题．