题目内容

A、B两座城市相距100km，在两地之间距A城市xkm的D处建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得少于10km．已知供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比，比例系数k=0.25，若A城市供电量为20亿度/月，B城市为10亿度/月．
（1）求x的范围；
（2）把月供电总费用y表示成x的函数；
（3）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．

解：（1）∵核电站距城市的距离不得少于10km，
又∵A、B两座城市相距100km，
∴x的取值范围为10≤x≤90；
（2）∵供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比，比例系数k=0.25，
又∵A城市供电量为20亿度/月，B城市为10亿度/月
∴y=5x²+ $\text{[math]}$ （100-x）²（10≤x≤90）；
（3）由y=5x²+ $\text{[math]}$ （100-x）²= $\text{[math]}$ x²-500x+25000= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
则当x= $\text{[math]}$ 米时，y最小．
答：故当核电站建在距A城 $\text{[math]}$ 米时，才能使供电总费用最小．
分析：（1）由已知中核电站距城市的距离不得少于10km，A、B两座城市相距100km，我们易求出求x的范围；
（2）由已知中供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比，比例系数k=0.25，若A城市供电量为20亿度/月，B城市为10亿度/月，结合（1）中x的取值范围，即可得到月供电总费用y表示成x的函数；
（3）由（2）所得的函数解析式，结合二次函数最值的求法，我们易得当x= $\text{[math]}$ 米时，y最小．
点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，二次函数的性质，其中在利用函数数学模型解答实际问题时，定义域（自变量x的取值范围）是易忽略而致错的点．