题目内容

已知直线y=-x+1与椭圆 $数学公式$ 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程．

解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由 $\text{[math]}$ 得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
由根与系数的关系，得 $\text{[math]}$ ，
且判别式△=4a²b²（a²+b²-1）＞0，即a²+b²-1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（ $\text{[math]}$ ）．
由已知得 $\text{[math]}$ ，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²；故椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x₀，y₀），
则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
由已知得 x₀²+y₀²=4，∴ $\text{[math]}$ ，
∴b²=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组 $\text{[math]}$ 得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x-2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x-2y=0的对称点为（x₀，y₀），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组 $\text{[math]}$ ，解得x₀、y₀；代入圆的方程 x₀²+y₀²=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．
点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．