Question

（1）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范围，使f（x）为常数函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-a≤0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I），由已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．可构造关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组可得矩阵M，进而得到矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）由（I）中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，构造关于x，y的关系式，整理后可得l的方程．
（2）（I）由已知直线的极坐标方程为，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得直线方程，根据圆M的参数方程为利用三角函数平方关系，消去参数，可得圆的方程．
（II）根据（I）中所得直线与圆的方程，将圆心坐标及直线方程代入点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，减掉圆半径，可得圆上点到直线的最近距离．
（3）（I）利用零点分段法，可将函数的解析式化为一个分段函数的形式，进而得到f（x）为常数函数时，x的取值范围
（II）分析函数的值域，进而根据关于x的不等式f（x）-a≤0有解，a不小于函数最大值，可得答案．
解答：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
解：（Ⅰ）设，则有=，=，
所以，
解得
所以M=，从而|M|=-2，
从而M^-1=
（Ⅱ）因为
且m：2x'-y'=4，所以2（x+2y）-（3x+4y）=4，
即x+4=0，这就是直线l的方程
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）∵
∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．
所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．
（Ⅱ）圆M的普通方程为：x²+（y+2）²=4
圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离d=．
所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为-2．
（3）（本小题满分7分） 选修4一5：不等式选讲
解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|+|x+3|=
则当x∈[-3，1]时，f（x）为常函数．                 
（Ⅱ）法一：画图，由（1）得函数f（x）的最小值为4，
法二：|x-1|+|x+3|≥|x-1-（x+3）|；
∴|x-1|+|x+3|≥4，
等号当且仅当x∈[-3，1]时成立．
得函数f（x）的最小值为4，则实数a的取值范围为a≥4．
点评：本题是选修三选一，（1）的关键是熟练掌握矩阵运算公式，（2）的关系是将极坐标方程和参数方程转化为一般方程，（3）的关键是用零点分段法，化简函数的解析式．