Question

在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为

1

2

．
（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．

Answer 1

分析：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，进而分析可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互独立，由互斥事件的概率计算方法，可得答案；
（2）根据题意，分析可得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B(4，

1

2

)，进而可得分步列，计算可得答案．

解答：解：（1）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，
则“甲选做第22题”为

.

A

，“甲选做第22题”为

.

B

，
进而可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互独立．
∴P(AB+

.

A

.

B

)=P(A)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

2

；
（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B(4，

1

2

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 4

(

1

2

)k(1-

1

2

)4-k=

C

k 4

( 1 2 )4

(k=0，1，2，3，4)
∴变量ξ的分布列为：
Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2（或Eξ=np=4×

1

2

=2）．

点评：本题考查对立事件、相互独立事件、互斥事件的概率的计算及分步列的运用，有一定的综合性，需要加强学生的这方面的训练．