题目内容

已知点P(2,-3)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,且椭圆一个顶点坐标为(0,2
3
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点E(0,-4)的直线l交椭圆于点R、T,且满足
OR
OT
=8,求直线l的方程.
分析:(1)由题意可得:b=2
3
,再点P(2,-3)代入椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
即可得到a.
(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.与椭圆的方程联立可得到△>0及根与系数的关系,再利用设R(x1,y1),T(x2,y2),利用
OR
OT
=8?x1x2+y1y2=8,解得k即可.
解答:解:(1)由题意可得:b=2
3

∵点P(2,-3)在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,
22
a2
+
(-3)2
(2
3
)
2
=1

解得a=4,
∴椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
12
=1

(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.
可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.
y=kx-4
x2
16
+
y2
12
=1
可得:(3+4k2)x2-32kx+16=0,
由△=(-32k)2-4(3+4k2)×16>0,解得k2
1
4

设R(x1,y1),T(x2,y2),
x1+x2=
32k
3+4k2
x1x2=
16
3+4k2

∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16,
OR
OT
=8,∴x1x2+y1y2=8,
(1+k2
16
3+4k2
-4k×
32k
3+4k2
+16
=8,
化为k2=
5
2
1
4
,解得k=±
10
2

∴直线l的方程为:y=±
10
2
x-4.
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△>0及根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
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