题目内容
已知点P(2,-3)在椭圆
+
=1(a>b>0)上,且椭圆一个顶点坐标为(0,2
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点E(0,-4)的直线l交椭圆于点R、T,且满足
•
=8,求直线l的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点E(0,-4)的直线l交椭圆于点R、T,且满足
OR |
OT |
分析:(1)由题意可得:b=2
,再点P(2,-3)代入椭圆方程
+
=1(a>b>0)即可得到a.
(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.与椭圆的方程联立可得到△>0及根与系数的关系,再利用设R(x1,y1),T(x2,y2),利用
•
=8?x1x2+y1y2=8,解得k即可.
3 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.与椭圆的方程联立可得到△>0及根与系数的关系,再利用设R(x1,y1),T(x2,y2),利用
OR |
OT |
解答:解:(1)由题意可得:b=2
,
∵点P(2,-3)在椭圆
+
=1(a>b>0)上,
∴
+
=1,
解得a=4,
∴椭圆C的方程为
+
=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.
可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.
由
可得:(3+4k2)x2-32kx+16=0,
由△=(-32k)2-4(3+4k2)×16>0,解得k2>
,
设R(x1,y1),T(x2,y2),
则x1+x2=
,x1x2=
.
∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16,
∵
•
=8,∴x1x2+y1y2=8,
∴(1+k2)×
-4k×
+16=8,
化为k2=
>
,解得k=±
,
∴直线l的方程为:y=±
x-4.
3 |
∵点P(2,-3)在椭圆
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴
22 |
a2 |
(-3)2 | ||
(2
|
解得a=4,
∴椭圆C的方程为
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意.
可知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为:y=kx-4.
由
|
由△=(-32k)2-4(3+4k2)×16>0,解得k2>
1 |
4 |
设R(x1,y1),T(x2,y2),
则x1+x2=
32k |
3+4k2 |
16 |
3+4k2 |
∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16,
∵
OR |
OT |
∴(1+k2)×
16 |
3+4k2 |
32k |
3+4k2 |
化为k2=
5 |
2 |
1 |
4 |
| ||
2 |
∴直线l的方程为:y=±
| ||
2 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△>0及根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

练习册系列答案
相关题目