Question

已知两圆x²+y²-2x+10y-24=0和 x²+y²+2x+2y-8=0
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在的直线方程；
（3）求公共弦的长．

Answer 1

分析：（1）将两圆化成标准方程，得到它们的圆心和半径，用两点距离公式求出圆心距，最后用圆心距离与两圆的半径和与差进行比较，即可得到两圆的位置关系；
（2）两圆的一般式方程相减，再化简整理得到x-2y+4=0，即为两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求出第一个圆的圆心到直线x-2y+4=0的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．

解答：解：（1）将两圆化为标准方程，得C₁：（x-1）²+（y+5）²=50，C₂：（x+1）²+（y+1）²=10
∴圆C₁的圆心为（1，-5），半径为r₁=5

2

；圆C₂的圆心为（-1，-1），半径为r₂=

10

…（4分）
又∵|C₁C₂|=

(1+1)2+(-5+1)2

=2

5

，r₁+r₂=5

2

+

10

，r₁-r₂=5

2

-

10

，
可得 r₁-r₂＜|C₁C₂|＜r₁+r₂…（5分）
∴两圆相交…（6分）
（2）将两圆的方程相减，得4x-8y+16=0，
化简得：x-2y+4=0，
∴公共弦所在直线的方程是x-2y+4=0．…（9分）
（3）由（2）知圆C₁的圆心（1，-5）到直线x-2y+4=0的距离
d=

|1-2×(-5)+4|

12+(-2)2

=3

5

…（12分）
由此可得，公共弦的长l=2

r12-d2

=2

50-45

=2

5

…（14分）

点评：本题给出两个定圆，求它们的公共弦所在直线方程并求弦长，着重考查了圆的标准方程与一般方程、圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．