Question

若函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为a的函数，记为g（a）．
（1）写出g（a）的表达式；
（2）求能使g（a）=

1

2

的a的值，并求出a取此值时，f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先对函数解析式进行配方，讨论对称轴与区间[-1，1]的位置关系，从而求出函数的最小值，即可求出g（a）的表达式；
（2）若g（a）=

1

2

，则g（a）只能在〔-2，2〕内解方程，从而求出a的值，并求出此时的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=2（cosx-

a

2

）²-

1

2

a²-2a-1
∴g（a）=

1-4a    a＞2 - 1 2 a2-2a-1      -2≤a≤2 1                   a＜-2

（2）若g（a）=

1

2

，则g（a）只能在〔-2，2〕内解方程-

1

2

a²-2a-1=

1

2

得a=-1或a=-3，
∴a=-1
此时f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

，当cosx=1时，f（x）有最大值5

点评：本题主要考查了三角函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．