题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,满足f′(2-x)=f′(x).
(Ⅰ)设g(x)=x
f(x)
,m>0,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(Ⅱ)设h(x)=lnf′(x)=,若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.
分析:(Ⅰ)f′(x)=x2+2bx+c,由f′(2-x)=f′(x),解得b=-1.由直线y=4x-12与x轴的交点为(3,0),解得c=1,d=-3.由此能求出函数g(x)在[0,m]上的最大值.
(Ⅱ)h(x)=ln(x-1)2=2ln|x-1|,,则h(x+1-t)=2ln|x-t|,h(2x+2)=2ln|2x+1|,由当x∈[0,1]时,|2x+1|=2x+1,知不等式2ln|x-t|<2ln|2x+1|恒成立等价于|x-t|<2x+1,且x≠t恒成立,由此能求出实数t的取值范围.
解答:(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)f′(x)=x2+2bx+c,
∵f′(2-x)=f′(x),
∴函数y=f′(x)的图象关于直线x=1对称,则b=-1.
∵直线y=4x-12与x轴的交点为(3,0),
∴f(3)=0,且f′(x)=4,
即9+9b+3c+d=0,且9+6b+c=4,解得c=1,d=-3.
f(x)=
1
3
x3-x2+x-3

故f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2
g(x)=x
(x-1)2
=x|x-1|=
x2-x,x≥1
x-x2,x<1

如图所示.当x2-x=
1
4
时,x=
2
2
,根据图象得:
(ⅰ)当x<m
1
2
时,g(x)最大值为m-m2
(ⅱ)当
1
2
<m≤
1+
2
2
时,g(x)最大值为
1
4

(ⅲ)当m
1+
2
2
时,g(x)最大值为m2-m.  …(8分)
(Ⅱ)h(x)=ln(x-1)2=2ln|x-1|,
则h(x+1-t)=2ln|x-t|,
h(2x+2)=2ln|2x+1|,∵当x∈[0,1]时,|2x+1|=2x+1,
∴不等式2ln|x-t|<2ln|2x+1|恒成立等价于|x-t|<2x+1,且x≠t恒成立,
由|x-t|<2x+1恒成立,得-x-1<t<3x+1恒成立,
∵当x∈[0,1]时,3x+1∈[1,4],-x-1∈[-2,-1],∴-1<t<1,
又∵当x∈[0,1]时,由x≠t恒成立,得t∉[0,1],
因此,实数t的取值范围是-1<t<0.…(14分)
点评:本题考查函数最大值的求法,考查实数的取值范围的求法.考查推理论证能力的应用,考查计算推导能力.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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