题目内容

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,a2=6
(1)对于任意的正自然数n,设点Pn(an
Sn
n
-3)
在直线E上,求直线E的方程;
(2)设数列{bn},其中anbn=2,问从{bn}中是否能选出无穷项,按原来的顺序排成等比数列{cn},使{cn}的各项和等于
1
2
?若能,请说明理由并求出数列{cn}的第一项和公比,若不能,请说明理由.
分析:(1)an=4n-2,Sn=2n2,n∈N*,所以Pn(4n-2,2n-3),由此能求出曲线E的方程.
(2)bn=
2
an
,假设存在一个等比数列{cn}:设其首项为c1=
2
ar
=
2
4r-2
,第二项为c2=
2
as
=
2
4s-2
,则公比为q=
2
4s-2
2
4r-2
=
4r-2
4s-2
=
2r-1
2s-1
,由此可知存在唯一的等比数列{cn},首项为c1=
2
4r-2
=
1
3
,公比为q=
4r-2
4s-2
=
1
3
解答:解:(1)an=4n-2,Sn=2n2,n∈N*(2分)
所以Pn(4n-2,2n-3)
设Pn(x,y),则
x=4n-2
y=2n-3

得x-2y-4=0即为曲线E的方程 (4分)
(2)bn=
2
an
,假设存在一个等比数列{cn}:设其首项为c1=
2
ar
=
2
4r-2
,(r∈N*)
第二项为c2=
2
as
=
2
4s-2
,(s∈N*,r<s),(5分)
则公比为q=
2
4s-2
2
4r-2
=
4r-2
4s-2
=
2r-1
2s-1
,0<q<1,(6分)
所以得
2
4r-2
1-
2r-1
2s-1
=
2s-1
(2r-1)(2s-2r)
=
1
2
(7分)
所以s=
2r2-r-1
2r-3
=
(2r+1)(r-1)
2r-3
=(1+
4
2r-3
)(r-1)

因为r、s∈N*,
所以存在唯一的r=2,s=5(9分)
所以存在唯一的等比数列{cn},
首项为c1=
2
4r-2
=
1
3

公比为q=
4r-2
4s-2
=
1
3
(11分)
点评:本题考查不等式和数列的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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