Question

点A，B，C，D在抛物线x²=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称．过点D的切线平行于BC，点D到到AB，AC距离分别为d₁，d₂，且．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由；
（Ⅱ）若△ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状；
（Ⅱ）利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．
解答：解：（Ⅰ）由x²=4y得，．设，由导数的几何意义知BC的斜率，
由题意知，设，
则，所以，，
所以k_AC=-k_AB，∴∠DAC=∠DAB，∴d₁=d₂，
又由得，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由（1）知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：，
由得到另一个交点．
由，
由得到另一个交点．
∴，，
∴，
解得x=±8，∴A（8，16）或（-8，16），
若x=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x=-8时，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．
点评：熟练掌握导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式即可得出．