Question

15．设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P（4，1）在椭圆上，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 由椭圆的焦点在x轴上或在y轴上加以讨论，分别根据题意求出椭圆的长半轴a与短半轴b的值，由此写出椭圆的标准方程，可得答案

解答 解：①当椭圆的焦点在x轴上时，设方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵椭圆过点P（4，1），∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a=2•2b，即a=2b，
可得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
此时椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
②当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）．
∵椭圆过点P（4，1），∴$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{16}{{n}^{2}}$=1，
∵长轴长是短轴长的3倍，可得a=2b，
解得m=$\sqrt{65}$，n=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
此时椭圆的方程为$\frac{{4{x^2}}}{65}+\frac{y^2}{65}$=1．
综上所述，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}$=1或$\frac{{4{x^2}}}{65}+\frac{y^2}{65}$=1．

点评 本题给出椭圆的满足的条件，求椭圆的标准方程，着重考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．