题目内容

已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a11,an+1f'(an+1).试比较++++1的大小,并说明理由.

 

见解析

【解析】++++<1.

理由如下:

f'(x)=x2-1,an+1f'(an+1),

an+1(an+1)2-1.

g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)=x2+2x在区间[1,+)上单调递增,于是由a11,a2(a1+1)2-122-1,进而得a3(a2+1)2-124-1>23-1,

由此猜想:an2n-1.

下面用数学归纳法证明这个猜想:

①当n=1,a121-1=1,结论成立;

②假设n=k(k1kN*)时结论成立,ak2k-1,则当n=k+1,g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+)上单调递增知,ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1,n=k+1,结论也成立.

由①②知,对任意nN*,都有an2n-1,

1+an2n,,

++++++++==1-()n<1.

【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路

通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.

 

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