Question

22、已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且当x＞1时f（x）＞0，
（1）求f（1）与f（-1）值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），分别令x₁=x₂=1，x₁=-1，x₂=1，即可得到答案；
（2）根据f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）及（1）中的结论，令x₁=-1，易判断出f（-x₂）与f（x₂）的关系，再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．
（3）令x₁＞1，结合已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且当x＞1时f（x）＞0，我们易根据函数单调性的定义得到结论．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）证明：令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；（3分）
（3）证明：令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁•x₂＞x₂
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及抽象函数值，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．