Question

已知函数ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，其中t为常数，且t＞0．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且设bn=1-

1

an

，证明：对任意的x＞0，bn≥f

1

2n

(x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，知ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

．由此能求出函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值． 
（Ⅱ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．所以bn=1-

1

an

=

2n

2n+1

＞0，由此能够证明对任意的x＞0，不等式bn≥f

1

2n

(x) (n=1，2，…)成立．

解答：（Ⅰ）解：∵ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，
∴ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

…（3分）
∵x＞0，
∴当x＜t时，f'_t（x）＞0；
当x＞t时，f'_t（x）＜0，
∴当x=t时，f_t（x）取得最大值ft(t)=

1

1+t

． …（6分）
（Ⅱ）证明：由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）…（8分）
检验知n=1、2时，结论也成立，
故a_n=2ⁿ+1．…（9分）
所以bn=1-

1

an

=

2n

2n+1

＞0，
令t=

1

2n

＞0，
则f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)，
由（Ⅰ）可知，f

1

2n

(x)≤f

1

2n

(

1

2n

)=

1

1+ 1 2n

=

2n

2n+1

=bn．
∴对任意的x＞0，不等式bn≥f

1

2n

(x) (n=1，2，…)成立．…（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和累加求和法的合理运用．易错点是运算量大，容易失误，解题时要注意计算能力的培养．