Question

某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为

2

3

，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为

1

9

．
（Ⅰ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（Ⅱ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出徒弟加工一个零件为精品的概率，写出分布列，徒弟加工该零件的精品数多于师父包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果；
（Ⅱ）由题意知师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，则ξ的可能取值是为0，1，2，3，4，对应于变量的事件做出概率，即可写出分布列和期望．

解答：解：设徒弟加工一个零件为精品的概率为P，则

2

3

×

2

3

P2=

1

9

，∴P=

1

2

师父加工两个零件中，精品个数的分布列为

ξ1	0	1	2
概率	1 9	4 9	4 9

徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列为

ξ2	0	1	2
概率	1 4	1 2	1 4

（1）设徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P₁．则P1=

1

9

×

2

4

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

7

36

．
（2）P（ξ=0）=

1

4

×

1

9

=

1

36

，
P（ξ=1）=

1

9

×

2

4

+

1

4

×

4

9

=

6

36

P（ξ=2）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

13

36

P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

12

36

P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

4

36

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
概率	1 36	6 36	13 36	12 36	4 36

∴ξ的期望Eξ为Eξ=0×

1

36

+1×

6

36

+2×

13

36

+3×

12

36

+4×

4

36

=

7

3

．
答：（1）徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P₁=

7

36

；（2）ξ的期望Eξ=

7

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件的概率，考查互斥事件的概率，属于中档题．