Question

若函数f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值6，则F（x）在（-∞，0）上（　　）

A．有最小值-2

B．有最大值-5

C．有最小值-1

D．有最大值-3

Answer 1

分析：利用f（x）、g（x）的奇偶性可判断F（x）-2的奇偶性，由F（x）在（0，+∞）上的最大值可得F（x）-2的最大值，由其奇偶性可得F（x）-2在对称区间（-∞，0）上的最值情况，从而可得F（x）的最值情况．

解答：解：由F（x）=af（x）+bg（x）+2，得F（x）-2=af（x）+bg（x），
∵f（x）和g（x）都是奇函数，
∴F（-x）-2=af（-x）+bg（-x）=-af（x）-bg（x）=-[af（x）+bg（x）]=-[F（x）-2]，
∴F（x）-2是奇函数，
∵F（x）在（0，+∞）上有最大值6，即F（x）≤6，
∴F（x）-2≤4，
当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
则F（-x）-2≤4，即-[F（x）-2]≤4，
∴F（x）-2≥-4，即F（x）≥-2，
∴x∈（-∞，0）时，F（x）有最小值-2，
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题．