题目内容

若函数f(x)和g(x)都为奇函数,函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在(0,+∞)上有最大值10,则F(x)在(-∞,0)上有(  )
分析:首先根据f(x)和g(x)都是奇函数,得对任意实数x,都有f(-x)=-f(x)且g(-x)=-g(x).由函数F(x)在(0,+∞)上有最大值10,可以证得:当x<0时,F(-x)≤10,再结合f(x)和g(x)为奇函数,整理得af(x)+bg(x)≥-7,可得当x<0时,F(x)=af(x)+bg(x)+3≥-4.设F(x)=af(x)+bg(x)+3在(0,+∞)上取最大值时的x=x0,结合结合f(x)和g(x)为奇函数,可以证出当x<0时,F(x)的最小值为F(-x0)=-4.从而得出正确答案.
解答:解:∵函数f(x)和g(x)都为奇函数,
∴对任意实数x,都有f(-x)=-f(x)且g(-x)=-g(x).
当x>0时,F(x)=af(x)+bg(x)+3的最大值为10,
设F(x)=af(x)+bg(x)+3取最大值时的x=x0,(x0是正数)
即对任意的x>0,均有F(x)≤F(x0)=10,
∴当x<0时,F(-x)≤10,即af(-x)+bg(-x)+3≤10
∴af(-x)+bg(-x)≤7,即-af(x)-bg(x)≤7
∴af(x)+bg(x)≥-7,可得F(x)=af(x)+bg(x)+3≥-4
∵F(-x0)=af(-x0)+bg(-x0)+3=-[af(x0)+bg(x0)+3]+6,
∴F(-x0)=-F(x0)+6=-10+6=-4,
∴F(x)在(-∞,0)上当x=-x0时,F(x)有最小值为-4.
故选C
点评:本题从一个由两个奇函数组合而成的函数出发,研究了它的最值问题,着重考查了函数的单调性与奇偶性的综合和抽象函数处理等知识点,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网