Question

(14分)已知集合P={x|≤x≤2}，函数y=log₂(ax²-2x+2)的定义域是Q，

(1)若P∩Q≠φ，求实数a的取值范围.

(2)若方程log₂(ax²-2x+2)=2在[,2]内有解，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）由已知Q={x| ax²-2x+2>0}，若P∩Q≠φ，则说明在[,2]内至少有一个x值，使不等式ax²-2x+2>0成立，即在[,2]内至少有一个x值，使a> -成立，

令u= -，则只需a>u_min，又u=-2(-)²+，当x∈[,2]时，从而u∈[-4, ]，∴a>-4,∴a的取值范围是(-4,+∞).

（2）方程log₂(ax²-2x+2)=2在[,2]内有解，则方程ax²-2x+2=4，即ax²-2x-2=0在[,2]内有解，故在[,2]内有x的值，使a=+ 成立。令u=+ .则

u=+ =2(+)²-，当x∈[,2]时，u∈[,12],∴a∈[,12].∴a的取值范围是[,12].