Question

已知函数f（x）=1-

2

ax+ a 2

（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数
（1）求a的值；
（2）用定义法证明f（x）在定义域R上单调递增；
（3）解不等式f（x²-2）+f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，解得a的值；
（2）用定义法证明f（x）在定义域上的增减性时，要按照步骤“一取值，二作差，三判正负，四定结论”完成；
（3）由f（x）是奇函数又是增函数，把原不等式转化为一般形式，解得x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即1-

2

a0+ a 2

=0，∴a=2；∴f（x）=1-

2

2x+1

；
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1

）-（1-

2

2x2

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定义域R上是增函数；
（3）∵f（x）是奇函数，且不等式f（x²-2）+f（x）＞0，∴f（x²-2）＞f（-x）；
又∵f（x）是增函数，∴x²-2＞-x，解得x＞1或x＜-2；
∴原不等式的解集是{x|x＞1或x＜-2}．

点评：本题考查了定义域为R的奇函数f（0）=0以及用定义法证明函数的增减性问题，利用函数的增减性解答简单的不等式问题，是中档题．