题目内容

如图：已知A，B是圆x²+y²=4与x轴的交点，P为直线l：x=4上的动点，PA，PB与圆x²+y²=4的另一个交点分别为M，N．
（1）若P点坐标为（4，6），求直线MN的方程；
（2）求证：直线MN过定点．

解：（1）直线PA方程为y=x+2，由 $\text{[math]}$ 解得M（0，2），…（2分）
直线PB的方程 y=3x-6，由 $\text{[math]}$ 解得 N（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），…（4分）
用两点式求得MN的方程，并化简可得 y=-2x+2．…（6分）
（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y= $\text{[math]}$ （x+2），直线PB的方程为 y= $\text{[math]}$ （x-2）．
由 $\text{[math]}$ 得 M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），同理 N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）． …（10分）
直线MN的斜率 k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
直线MN的方程为 y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，
化简得：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ． …（14分）
所以直线MN过定点（1，0）．…（16分）
分析：（1）直线PA方程为y=x+2，由 $\text{[math]}$ 解得M（0，2），直线PB的方程 y=3x-6，由 $\text{[math]}$ 解得 N（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），用两点式求得MN的方程．
（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y= $\text{[math]}$ （x+2），直线PB的方程为 y= $\text{[math]}$ （x-2），解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，显然过定点（1，0）．
点评：本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．