题目内容
17．已知函数f（x）=x2-ax+1，a∈R．（1）如果方程f（x）=0的两根满足x1＜-2＜x2，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a表示x13+x23的解析式记为g（a），求g（a）并求g（a）的值域．
分析 （1）由题意可得f（-2）＜0，解关于a的不等式可得；
（2）由△≥0可得a≤-2或a≥2，由韦达定理和多项式的运算可得g（a）=a3-3a，导数法可得关于a的函数的值域．
解答 解：（1）由题意可得抛物线f（x）=x2-ax+1开口向上，
由方程f（x）=0的两根满足x1＜-2＜x2可得f（-2）＜0，
∴（-2）2-a（-2）+1＜0，解得a＜-$\frac{5}{2}$；
（2）由△=（-a）2-4≥0可得a≤-2或a≥2，
由韦达定理可得x1+x2=a，x1x2=1，
∴g（a）=x13+x23=（x1+x2）（x12-x1x2+x22）
=（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1x2]
=a（a2-3）=a3-3a，
∴g′（a）=3a2-3=3（a2-1）＞0，
∴函数g（a）在a≤-2或a≥2上单调递增，
计算可得g（-2）=-2，g（2）=2，
∴g（a）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）
点评 本题考查函数解析式的求解，涉及导数法求函数的值域，属中档题．
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