Question

（Ⅰ）求证

2

-

3

＜

6

-

7

；
（Ⅱ）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜

π

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要证 

2

+

7

＜

6

+

3

，只要证 (

2

+

7

)2＜(

3

+

6

)2，只要证2

14

＜2

18

．
（Ⅱ）由于△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，故b边不是最大边，也不是最小边，故B＜

π

2

．

解答：证明：（Ⅰ）要证

2

-

3

＜

6

-

7

，只要证 

2

+

7

＜

6

+

3

，
只要证 (

2

+

7

)2＜(

3

+

6

)2，只要证2

14

＜2

18

，只要证 14＜18 即可．
而14＜18显然成立，故要证的不等式成立．
（Ⅱ）∵△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b边不是最大边，也不是最小边．
若B≥

π

2

，则最大边所对的角大于

π

2

，这与三角形内角和相矛盾，故B＜

π

2

．

点评：本题考查用分析法证明不等式，等差数列的定义，以及三角形中大边对大角，判断b边不是最大边，也不是最小边，是解题的关键．