题目内容
【题目】如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,外的地方种草,
的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若
,
,设
的面积为
,正方形PQRS的面积为
.
(1)用a,表示
和
;
(2)当a为定值,变化时,求
的最小值,及此时的
值.
【答案】(1);
(2)当
时,
的值最小,最小值为
【解析】
(1)利用已知条件,根据锐角三角形中正余弦的利用,即可表示出和
;
(2)根据题意,将表示为
的函数,利用倍角公式对函数进行转化,利用换元法,借助对勾函数的单调性,从而求得最小值.
(1)在中,
,
所以;
设正方形的边长为x,则,
,
由,得
,
解得;
所以;
(2)
,
令,因为
,
所以,则
,
所以;
设,
根据对勾函数的单调性可知,在
上单调递减,
因此当时,
有最小值
,
此时,解得
;
所以当时,
的值最小,最小值为
.
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