题目内容

已知向量
m
=（cosA，-sinA），
n
=（cosB，sinB），
m
•
n
=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若AB=6，且
CA
•
CB
=18，求AC、BC的长．
分析：（I）
m
•
n
=cos2C，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得2cos2C+cosC-1=0，解出cosC=
1
2
，结合C∈（0，π）可得角C的大小；
（II）由
CA
•
CB
=18利用向量的数量积公式算出
|CA|
•
|CB|
=36，根据余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC=36，化简得AC+BC=12，两式联解即可算出AC、BC的长．
解答：解：（Ⅰ）∵
m
=（cosA，-sinA），
n
=（cosB，sinB），
∴
m
•
n
=cos2C，即cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=cos2C，…（2分）
化简得：2cos2C+cosC-1=0，…（4分）
故cosC=
1
2
（cosC=-1舍去）
∵C∈（0，π），∴C=
π
3
．       …（7分）
（Ⅱ）∵
CA
•
CB
=18，∴
|CA|
•
|CB|
cos
π
3
=36，即
|CA|
•
|CB|
=36． ①…（9分）
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos60°=36，
化简得：AC+BC=12  ②…（12分）
联解①②，可得AC=BC=6．                                 …（14分）
点评：本题给出向量含有三角函数的坐标，在已知数量积的情况下解三角形ABC．着重考查了向量的数量积公式、解三角形等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．
（1）求|
m
+
n
|的最大值；
（2）当|
m
+
n
|=
8
2
5
时，求cos（
θ
2
+
π
8
）的值．
已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π）且|
m
+
n
|=
8
2
5
，则cos(
θ
2
+
π
8
)=
-
4
5
-
4
5
．
已知向量
.
m
=（cosωx，sinωx），
.
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx），ω＞0，函数f（x）=
.
m
•
.
n
+|
.
m
|，且函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
2

（1）作出函数y=f（x）-1在[0，π]上的图象
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，c=2，S△ABC=
3
2
，求a的值．
（2012•绵阳二模）已知向量
m
=（cosωx，sinωx），
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）=|
m
|+
m
•
n
且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）=2，c=3，S△ABC=6
3
，求b的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（cos A，cos B），n=（2c+b，a），且m⊥n．

    （I）求角A的大小；

    （Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．

 

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