Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22，数列{b_n}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式表示已知a₂=5，a₄+a₆=22，可求a₁，d，从而可求a_n，在b1+2b2+…+2n-1bn=nan中令n=1可求b₁，且b₁+2b₂+…+2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1，两式相减可减可求b_n
（II）利用错位相减可求S_n，然后结合S_n的单调性，可求

解答：解：（I）∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴a₁+d=5，（a₁+3d）+（a₁+5d）=22，
解得：a₁=3，d=2．
∴

a

n

=2n+1…（2分）
在b1+2b2+…+2n-1bn=nan
中令n=1得：b₁=a₁=3，
又b₁+2b₂+…+2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1，
∴2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1一na_n．
∴2ⁿb_n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴bn+1=

4n+3

2n

，
∴bn=

4n-1

2n-1

(n≥2)，…（5分）
经检验，b₁=3也符合上式，
所以数列{b_n}的通项公式为bn=

4n-1

2n-1

…（6分）
（Ⅱ）S_n=3+7•

1

2

+…+（4n-1）•（

1

2

）^n-1，

1

2

S_n=3•

1

2

+7•（

1

2

）²+…+（4n一5）•（

1

2

）^n-1+（4n一1）（

1

2

）ⁿ．…（8分）
两式相减得：

1

2

S_n=3+4[

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1]一（4n一1）（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

S_n=3+4•

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(4n-1)(

1

2

)n，
∴S_n=14-

4n+7

2n-1

．    …（10分）
∴?n∈N^*，S＜14．
∵数列{b_n}的各项为正，
∴S_n单调递增，
又计算得S5=14-

27

16

＜13，S6=14-

31

32

＞13，
满足13＜S_n＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，利用数列的递推公式构造特殊数列求解数列的通项公式，数列的求和的错位相减求和方法的应用．