Question

已知x，y∈R⁺，且x+y=2，求

1

x

+

2

y

的最小值；给出如下解法：由x+y=2得2≥2

xy

①，即

1

xy

≥1②，又

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，由②③可得

1

x

+

2

y

≥2

2

，故所求最小值为2

2

．请判断上述解答是否正确______，理由______．

Answer 1

不正确，
因为当

1

xy

≥1②，成立时当且仅当x=y=1时取等号．
而

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，成立时当且仅当

1

x

=

2

y

，即y=2x取等号，当x=y=1时，y=2x不成立．
正确解法是：
因为x+y=2，所以

x+y

2

=1，所以

1

x

+

2

y

=(

1

x

+

2

y

)?(

x

2

+

y

2

)=

1

2

+1+

x

y

+

y

2x

≥

3

2

+2

x y ? y 2x

=

3

2

+

2

，
当且仅当

x

y

=

y

2x

，即y2=2x2，y=

2

x时取等号．
故答案为：不正确，①和③不等式不能同时取等号．