Question

15．若对于一切x∈[-1，1]，有|ax²+bx+c|≤1，证明：对于一切x∈[-1，1]，有|cx²-bx+a|≤2成立．

Answer 1

分析 由题意可知，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，把a，b，c用含有f（0），f（-1），f（1）的代数式表示，代入|cx²-bx+a|，然后利用绝对值的不等式放缩得答案．

解答 证明：令f（x）=ax+bx+c，则对任意的x∈[-1，1]，有|f（x）|≤1，
∴有|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
又f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
解得：a=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（-1）]-f（0），b=$\frac{1}{2}$[f（1）-f（-1）]，c=f（0），
故|cx-bx+a|=|f（0）x-$\frac{1}{2}$[f（1）-f（-1）]x+$\frac{1}{2}$[f（1）+f（-1）]-f（0）|
=|f（0）（x-1）+$\frac{1}{2}$f（1）（1-x）+$\frac{1}{2}$f（-1）（x+1）|
≤|f（0）（x-1）|+|$\frac{1}{2}$f（1）（1-x）|+|$\frac{1}{2}$f（-1）（x+1）|
=（1-x）|f（0）|+$\frac{1}{2}$（1-x）|f（1）|+$\frac{1}{2}$（1+x）|f（-1）|
≤（1-x）+$\frac{1}{2}$（1-x）+$\frac{1}{2}$（1+x）=-x+2≤2．
当且仅当|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1且x=0时“=”成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，训练了线性规划在解决恒成立问题中的应用，考查了绝对值不等式的性质，是中档题．