题目内容

如图（1），C是直径AB=2的⊙O上一点，AD为⊙O的切线，A为切点，△ACD为等边三角形，连接DO交AC于E，以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置．
（1）求证异面直线AC和PO互相垂直；
（2）若三棱锥P-ABC的体积为 $数学公式$ ，求二面角A-PC-B的正弦值．

解：（1）证明：等边三角形△ACD中AD=DC，AD为⊙O的切线，A为切点，
∴DO⊥AC且E为AC中点（2分）
以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置时，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO （4分）
∴AC⊥PO （5分）
（2）过P作PK⊥EO于K，连接KA，KB，KC，
∵AC⊥平面PEO
∴AC⊥PK
∴PK⊥平面⊙O（7分）
∵PA=PC
∴KA=KC
∵图（1）中∠ADC=60°，AB=2为⊙O的直径，AD为⊙O的切线，A为切点，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC= $\text{[math]}$ ，BC=1
∴V_P-ABC= $\text{[math]}$ AC•BC•PK= $\text{[math]}$ PK= $\text{[math]}$ （8分）
∴PK= $\text{[math]}$
∴KA=KC=1
∴K，O重合
∴PO⊥平面⊙O（10分）
∴PA=PB=PC= $\text{[math]}$ ，OA=OB=OC=BC=1
过B作BF⊥平面PAC于F，过B作BG⊥PC于G，连接FG
则PC⊥平面BFG，
∴FG⊥PC
∴∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角（11分）
由三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ BF•S_△PAC= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）²•BF
得BF= $\text{[math]}$ （12分）
等腰三角形PBC中，BG= $\text{[math]}$
∴sin∠BGF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴二面角A-PC-B的正弦值的正弦值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）由已知中，△ACD为等边三角形，AD为⊙O的切线，A为切点，我们易结合线面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，进而根据线面垂直的性质得到异面直线AC和PO互相垂直；
（2）过P作PK⊥EO于K，连接KA，KB，KC，由同一法我们可以证得K，O重合，过B作BF⊥平面PAC于F，过B作BG⊥PC于G，连接FG，则∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角，利用等体积法，求出B点到平面PAC的距离BF长，即可求出二面角A-PC-B的正弦值．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理，（2）的关键是确定∠BGF就是二面角A-PC-B的平面角．