题目内容

【题目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= };
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=2x﹣2};
④M={(x,y)|y=sinx+1}.
其中是“垂直对点集”的序号是(
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

【答案】C
【解析】解:由题意可得:集合M是“垂直对点集”,即满足: 曲线y=f(x)上过任意一点与原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直.
①M={(x,y)|y= },其图象向左向右和x轴无限接近,向上和y轴无限接近,
据幂函数的图象和性质可知,
在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y= 的图象相交,
即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y= }是“垂直对点集”.
②M={(x,y)|y=log2x},(x>0),
取(1,0),则不存在点(x2 , log2x2)(x2>0),满足1×x2+0=0,
因此集合M不是“垂直对点集”;
对于③M={(x,y)|y=2x﹣2},其图象过点(0,﹣1),且向右向上无限延展,向左向下无限延展,
据指数函数的图象和性质可知,
在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交,
即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直对点集”.
对于④M={(x,y)|y=sinx+1},在图象上任取一点A,
连OA,过原点作直线OA的垂线OB,因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交.
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故④符合;
综上可得:只有①③④是“垂直对点集”.
故选:C
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本,需要知道两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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