题目内容
【题目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= };
②M={(x,y)|y=log2x};
③M={(x,y)|y=2x﹣2};
④M={(x,y)|y=sinx+1}.
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【答案】C
【解析】解:由题意可得:集合M是“垂直对点集”,即满足: 曲线y=f(x)上过任意一点与原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直.
①M={(x,y)|y= },其图象向左向右和x轴无限接近,向上和y轴无限接近,
据幂函数的图象和性质可知,
在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y= 的图象相交,
即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y= }是“垂直对点集”.
②M={(x,y)|y=log2x},(x>0),
取(1,0),则不存在点(x2 , log2x2)(x2>0),满足1×x2+0=0,
因此集合M不是“垂直对点集”;
对于③M={(x,y)|y=2x﹣2},其图象过点(0,﹣1),且向右向上无限延展,向左向下无限延展,
据指数函数的图象和性质可知,
在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交,
即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直对点集”.
对于④M={(x,y)|y=sinx+1},在图象上任取一点A,
连OA,过原点作直线OA的垂线OB,因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交.
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故④符合;
综上可得:只有①③④是“垂直对点集”.
故选:C
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本,需要知道两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
【题目】为了解市民在购买食物时看营养说明与性别的关系,现在社会上随机询问了100名市民,得到如下2×2列联表:
(1)是否有95%的把握认为:“性别与读营养说明有关系”,并说明理由;
(2)把频率当概率,若从社会上的男性市民中随机抽取3位,记这3位中读营养说明的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
男性 | 女性 | 总计 | |
读营养说明 | 40 | 20 | 60 |
不读营养说明 | 20 | 20 | 40 |
总计 | 60 | 40 | 100 |
参考公式和数据:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |