题目内容
已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比都是d，（d≠0，d≠1）且a1=b1，a4=b4，a10=b10．（1）求a1与d，并分别写出这两个数列的通项公式．
（2）b16是不是{an}中的项？若是，为第几项？若不是，说明理由．
分析：（1）由题意知a1+3d=a1d3，则a1=
，同理a1=
，所以（d3-1）（d6+d3+1）-3（d3-1）=0，解得d=-
，a1=
=
．由此可知答案；
（2）由（1）可得，b16=a1d15=
(-
)15=-32
，由(2-n)
=-32
得n=34，分析可得答案．
| 3d |
| d3-1 |
| 9d |
| d9-1 |
| 3 | 2 |
-3
| |||
| -3 |
| 3 | 2 |
（2）由（1）可得，b16=a1d15=
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
解答：解：（1）a4=a1+3d，b4=b1•d3，∴a1+3d=a1d3，∴a1=
，
∵a10=a1+9d，b10=a1•d9，∴a1+9d=a1•d9
a1=
，
∴
=
，∴d9-1=3d3-3，
∴（d3-1）（d6+d3+1）-3（d3-1）=0，
∵d≠1，∴d6+d3-2=0，∴d3=-2．
∴d=-
，a1=
=
．
an=a1+(n-1)d=(2-n)
，
bn=
•(-
)n-1．
（2）b16=a1d15=
(-
)15=-32
an=a1+(n-1)d=(2-n)
，
由(2-n)
=-32
得n=34．
∴b16是{an}中的项，为第34项．
| 3d |
| d3-1 |
∵a10=a1+9d，b10=a1•d9，∴a1+9d=a1•d9
a1=
| 9d |
| d9-1 |
∴
| 3d |
| d3-1 |
| 9d |
| d9-1 |
∴（d3-1）（d6+d3+1）-3（d3-1）=0，
∵d≠1，∴d6+d3-2=0，∴d3=-2．
∴d=-
| 3 | 2 |
-3
| |||
| -3 |
| 3 | 2 |
an=a1+(n-1)d=(2-n)
| 3 | 2 |
bn=
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
（2）b16=a1d15=
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
an=a1+(n-1)d=(2-n)
| 3 | 2 |
由(2-n)
| 3 | 2 |
| 3 | 2 |
∴b16是{an}中的项，为第34项．
点评：本题考查数列的性质和应用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．
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