Question

如图，以正六边形的一条对角线的两个端点F₁、F₂为焦点，过其余四个顶点作椭圆，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：设正六边形的边长为1，则由题意可得2c=2．以线段F₁F₂所在的直线为x轴，以线段F₁F₂的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．则由正六边形的性质可得∠AOF₁=120°，AF₂=OF₁=1=AO．△AOF₁中，由余弦定理可得AF₁ 的值．再由椭圆的定义求得2a=AF₁+AF₂的值，由此求得离心率e=

2c

2a

的值

解答：解：设正六边形的边长为1，则由题意可得2c=F₁F₂=2，c=1．
以线段F₁F₂所在的直线为x轴，以线段F₁F₂的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
作AB垂直于x轴，B为垂足，则由正六边形的性质可得∠AOF₁=120°，AF₂=OF₁=1=AO．
△AOF₁中，由余弦定理可得 AF12=AO²+OF12-2AO•OF₁•cos∠AOF₁=1+1-2×cos120°=3，
∴AF₁=

3

．
再由椭圆的定义可得 2a=AF₁+AF₂=

3

+1，故离心率e=

2c

2a

=

2

3 +1

=

3

-1，
故答案为

3

-1．

点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质的应用，正六边形的性质，属于中档题．