题目内容

已知P是△ABC内一点，且满足 $数学公式$ =0，记△ABP、△BCP、△ACP的面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁：S₂：S₃ ________．

3：1：2
分析：有已知的等式变形可得∴ $\text{[math]}$ =-6 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，P到BC的距离等于A到BC的距离的 $\text{[math]}$ ，P到AC的距离等于B到AC的距离的 $\text{[math]}$ ．从而，S₂= $\text{[math]}$ S，S₃= $\text{[math]}$ S，S₁=S-S₂-S₃= $\text{[math]}$ S．
解答：

解：如图：设D、E 分别为BC、AC的中点，
∵ $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-3（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =-3×2 $\text{[math]}$ =-6 $\text{[math]}$ ，
同理由（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=-2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），即 2 $\text{[math]}$ =-2× $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．∴P到BC的距离等于A到BC的距离的 $\text{[math]}$ ，
设△ABC的面积为S，则S₂= $\text{[math]}$ S．
P到AC的距离等于B到AC的距离的 $\text{[math]}$ ，
∴S₃= $\text{[math]}$ S．∴S₁=S-S₂-S₃= $\text{[math]}$ S．
∴S₁：S₂：S₃= $\text{[math]}$ S： $\text{[math]}$ S= $\text{[math]}$ S=3：1：2，
故答案为：3：1：2．
点评：本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．