Question

（本小题满分16分）
已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）任取，且，恒有，求的取值范围；
（3）讨论方程的解的个数，并说明理由。

Answer 1

（1）
，解得，切点为代入直线方程解得…………………………4分
（2）不妨假设，则，所以   （*）
令
则（*）等价于函数在区间上为单调减函数
即等价于，不等式恒成立
解得：…………………………………………………………………………………………………9分
（3）令（

①当时，在上，，函数在上为增函数且当时，，当时，
由此的图象与轴有且仅有一个公共点，即方程有且仅有一个实根。
②当时，方程有两个不相等的实数根，并且一个正根一个负根，不妨设正根为
则当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数，故函数有最小值
（ⅰ）当时，有且只有一个实数根，即方程有且仅有一个实根。
此时有，变形得（**）
构造函数在上为单调增函数，方程（**）等价于
解得，代入原方程组，解得
（ⅱ）当时，，

所以方程无实数根，即方程没有实数根
（ⅰⅱ）当时，类似可以求得
所以方程有两个实数根，即方程有两个实数根
综上，当或时，方程有且仅有一个实根
当时，方程没有实数根
当时，方程有两个实数根………………………………………………16分

略