Question

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T₁，T₂，T₃，T₄，电流能通过T₁，T₂，
T₃的概率都是p，电流能通过T₄的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知
T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率；
（3）ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

Answer 1

分析：记A_i表示事件：电流能通过T_i，i=1、2、3、4，A表示事件：T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M、N之间通过．
（I）T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流的概率为0.999，可得它们都不能通过电流的概率为1-0.999=0.001．由于A_i之间相互独立且发生的概率均为p，可得P（

.

A

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=（1-p）³=0.001，解之得p=0.9；
（II）将B分解为A₄、

.

A4

A₁A₃与

.

A4

.

A1

A₂A₃的和，再用概率的乘法公式和加法公式，可求出电流能在M与N之间通过的概率；
（III）由题意可得：ξ服从二项分布，n=4且p=0.9．利用二项分布的数学期望公式，可以算出求ξ的期望．

解答：解：记A_i表示事件：电流能通过T_i，i=1、2、3、4，
A表示事件：T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流，
B表示事件：电流能在M、N之间通过．
（I）

.

A

=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，（A₁，A₂，A₃相互独立）
∴P（

.

A

）=P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=（1-p）³，
又∵P（

.

A

）=1-P（A）=1-0.999=0.001
∴（1-p）³=0.001，解之得p=0.9
（II）∵B=A₄+

.

A4

•A₁•A₃+

.

A4

•

.

A1

•A₂•A₃，
∴P（B）=P（A₄）+P（

.

A4

•A₁•A₃）+P（

.

A4

•

.

A1

•A₂•A₃）
=P（A₄）+P（

.

A4

）P（A₁）P（A₃）+P（

.

A4

）P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891
即电流能在M与N之间通过的概率为0.991
（III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立，
用ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通过电流的元件个数，则ξ服从二项分布，n=4且p=0.9
即ξ～B（4，0.9），由二项分布的数学期望公式，得Eξ=4×0.9=3.6
即ξ的期望为3.6

点评：本题给出一个并联和串联相复合的电路，求电流能接通的概率，着重考查了相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件与对立事件和离散型随机变量的期望与方差等知识，属于基础题．