题目内容
在xOy平面上有一系列的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…对于正整数n，点Pn位于函数y=x2（x≥0）的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，且xn+1＜xn．（1）求证：数列
是等差数列；（2）设⊙Pn的面积为Sn，
，求证：
．
【答案】分析：（1）由圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切可知Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到
=Yn+Y（n+1），整理得，
=2，原式得证．
（2）由（1）可知
=2n-1，进而求得xn的通项公式，代入⊙Pn的面积即可求得的表达式为Sn=（
）4，要证
＜
，只需证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜
即可．根据1+（
）2+（
）2+…（
）2=
1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2，且1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2＜2，进而可得1+（
）2+（
）2+…（
）＜
，进而得Tn=
＜
解答：（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
=Yn+Y（n+1）
整理就可以得到，
=2
故数列
是等差数列
（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去
证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜
即可
由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（
）2+（
）2+…（
）2
因为1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2
=[1+（
）2+（
）2+…（
）2]+
[1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2]
即1+（
）2+（
）2+…（
）2=
1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2
又因为 1+[（
）2+（
）2+（
）2+（
）2+（
）2+（
）2]+（
）2+…
＜1+[（
）2+（
）2+（
）2+（
）2+（
）2+（
）2+8（
）2+…
=1+
+
+
…=2
即就是1+（
）2+（
）2+（
）2+…（
）2＜2
所以 1+（
）2+（
）2+…（
）＜
×2=
即1+（
）2+（
）2+…（
）＜
所以
＜
即
点评：本题主要考查了数列在实际中的应用．本题在数列求和问题时，巧妙的用了分组法．
=Yn+Y（n+1），整理得，=2，原式得证．（2）由（1）可知
=2n-1，进而求得xn的通项公式，代入⊙Pn的面积即可求得的表达式为Sn=（）4，要证＜，只需证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可．根据1+（）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2，且1+（）2+（）2+（）2+…（）2＜2，进而可得1+（）2+（）2+…（）＜，进而得Tn=＜解答：（1）证明：∵圆Pn与P（n+1）相切，且P（n+1）与x轴相切，
所以，Rn=Yn，R（n+1）=Y（n+1），且两圆心间的距离就等于两半径之和，即
=Yn+Y（n+1）整理就可以得到，
=2故数列
是等差数列（2）S1=π（x1）4S2=π（x2）4…Sn=π（xn）4
约去
证明（x1）2+（x2）2+…（xn）2＜即可由（1）知（x1）2+（x2）2+…（xn）2
=1+（
）2+（）2+…（）2因为1+（
）2+（）2+（）2+…（）2=[1+（
）2+（）2+…（）2]+[1+（）2+（）2+（）2+…（）2]即1+（
）2+（）2+…（）2=1+（）2+（）2+（）2+…（）2又因为 1+[（
）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]+（）2+…＜1+[（
）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+8（）2+…=1+
++…=2即就是1+（
）2+（）2+（）2+…（）2＜2所以 1+（
）2+（）2+…（）＜×2=即1+（
）2+（）2+…（）＜所以
＜即
点评：本题主要考查了数列在实际中的应用．本题在数列求和问题时，巧妙的用了分组法．
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